مرتبه
تاریخ : پنجشنبه 4 شهریور 1395


اثباتی شهودی برای اتحاد مربع سه جمله‌ای

اتحادهای جبری
اتحاد (Identity) یک گزاره ریاضی همواره صادق است که معمولاً برای ساده‌سازی فعالیت های جبری در ریاضی بکار می‌رود. تعریف دیگری از اتحاد به صورت زیر است: معادله ای که به ازای هر عدد حقیقی برقرار باشد اتحاد نامیده می شود.
 
کاربردهای اتحادهای ریاضی:
-- ساده‌سازی محاسبات اعدادی مانند ۱۰۱۲
-- تجزیه عبارات گویا که خود در ب.م.م گیری و ک.م.م گیری کاربرد دارد.
-- تجزیه عبارات گویا برای حل معادلات درجه دو و سه و بیشتر کاربرد دارد.
 
انواع اتحاد:
اتحادها بسیار زیاد هستند اما چند اتحاد اصلی که پایهٔ اتحادهای دیگر هستند بدین قرارند:
 
:: اتحاد مربع دو جمله ای:
-- اتحاد مربع مجموع دو جمله:
(a+b)2=a2+b2+2ab
-- اتحاد مربع تفاضل دو جمله:
(ab)2=a2+b22ab
 
___________________________________________________________________
 
:: اتحاد مربع سه جمله‌ای:
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
 
-- تعمیم اتحاد مربع چند جمله: 
(a1+a2+a3+...+an)2=
a12+a22+a32+ ...+an2 + (2a1a2+2a1a3+2a1a4+...+2a1an) + (2a2a3+2a2a4+...+2a2an) + ... + 2an-1an
 
___________________________________________________________________
 
:: اتحاد مکعب مجموع دو جمله: 
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
 
___________________________________________________________________
 
 
:: اتحداد مزدوج:
(ab)(a+b)=a2b2
 
___________________________________________________________________
 
:: اتحاد جمله مشترک:
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
 
-- تعمیم اتحاد جمله مشترک:
(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x+abc
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=x4+(a+b+c+d)x3+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x2+(abc+abd+acd+bcd)x+abcd
 
___________________________________________________________________
 
:: اتحاد مجموع و تفاضل مکعبات دو جمله (اتحاد چاق و لاغر):
-- اتحاد مجموع مکعبات دو جمله:
a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)
-- اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله:
a3b3=(ab)(a2+ab+b2)
 
-- تعمیم اتحاد مجموع مکعبات دو جمله (n، عدد طبیعی فرد)
an+bn=(a+b)(an− an2b + an3b− ... + bn1)
--- نتیجه:
an+1=(a+1)(an− an2 + an3 − ... + 1)
 
-- تعمیم اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله (n، عدد طبیعی)
anbn=(ab)(an+ an2b + an3b... + bn1)
--- نتیجه:
an1=(a1)(an+ an2 + an3 ... + 1)
 
___________________________________________________________________
 
:: اتحاد اویلر:
(a+b+c)(a2+b2+c2abacbc)=a3+b3+c33abc

½(a+b+c)[(ab)2+(bc)2+(ac)2)]=a3+b3+c33abc
--- نتیجه:
اگر a+b+c=0    آنگاه  a3+b3+c3=3abc
اگر a=b=c        آنگاه  a3+b3+c3=3abc
___________________________________________________________________
 
:: اتحاد لاگرانژ:
(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ay−bx)2
 
___________________________________________________________________
 
:: اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن:

 
 منبع: آی هوش



طبقه بندی: سئوالات ریاضی نهم، 
ارسال توسط حسن نقی زاده
آرشیو مطالب
نظر سنجی
سئوالات امتحان ریاضی پایان ترم چگونه طرح شود؟




صفحات جانبی
پیوند های روزانه
امکانات جانبی
blogskin

قالب وبلاگ